Comentarios sobre matemáticas

La matemática es un lenguaje que permite describir de forma cuantitativa y cualitativa nuestro entorno. Este lenguaje que se construye a partir de la sintaxis de la lógica, cruza barreras idiológicas, económicas, étnicas, de género y cualquir otra cimentada por el humano.

Múltiplos de primos

Todo número par \(2N\) es de la forma \[ 2N \equiv 0 \mod 6, \quad 2N \equiv 2 \mod 6, \quad \text{ ó } \quad 2N \equiv 4 \mod 6, \]

y note que \(0\), \(2\) y \(4\) se puede escribir en \(\mathbb{Z}_6\) a partir de \(1\) y \(5\), esto quiere decir que todo par \(2N,\) y en particular \(2N\) no negativo, se puede escribir como la suma de dos elementos pertenecientes a los conjuntos \[ A = \{ 6x + 1 \}_{x \in \mathbb{N}_0} \text{ y } B = \{ 6y + 5 \}_{y \in \mathbb{N}_0}. \tag{1}\]

y ya que los elementos de \(A\) y \(B\) no son divisibles por \(2\) ni por \(3\) entonces:

Lema 1 Todo número par \(2N \geq 6\) se puede escribir como la suma de dos números no divisibles por \(2\) ni por \(3.\)

En los conjuntos 1 es siempre posible encontrar para ciertos valores de \(x\) e \(y\) múltiplos de algún primo \(p\). En este caso, \(x\) e \(y\) deberían de satisfacer las siguientes ecuaciones modulares
\[ 6x \equiv (p - 1) \mod{p}, \] \[ 6y \equiv (p - 5) \mod{p}, \]

cuya solución se obtiene a partir de si \(p-1\) es un múltiplo de \(6\), o si \(p-5\) es un múltiplo de \(6\).

• S1. Si \(p-1\) es divisible por \(6,\) entonces \[ x \equiv a \mod{p} \quad \text{ con } \quad a = \frac{p-1}{6} \tag{2}\] y \[ y \equiv b \mod{p} \quad \text{ con } \quad b = 5a \tag{3}\]

• S2. Si \(p-5\) es divisible por \(6,\) entonces \[ y \equiv b \mod{p} \quad \text{ con } \quad b = \frac{p-5}{6} \tag{4}\] y \[ x \equiv a \mod{p} \quad \text{ con } a = \frac{5p - 1}{6} \tag{5}\]

En ambas situaciones S1. y S2. es claro que \(a + b = p-1\)

Ejemplo 1 Para \(p = 31\) (situación S1.) tenemos que \(a = 5\) y \(b = 25.\) De acuerdo con esto los elementos de los conjuntos 1 tomando \(x \equiv 5 \mod{31}\) y \(y \equiv 25 \mod{31}\) son todos múltiplos de \(31\) no divisibles por \(2\) ni por \(3.\) Por ejemplo, si \(x = 1245\) y \(y = 366\) obtenemos en \(A\) y \(B\) respectivamente los números \(7471\) y \(2201\) ambos divisibles por \(31\).

Ejemplo 2 Para \(p = 29\) (situación S2.) tenemos que \(b = 4\) y \(a = 24.\) De acuerdo con esto los elementos de los conjuntos 1 tomando \(y \equiv 4 \mod{29}\) y \(x \equiv 24 \mod{29}\) son todos múltiplos de \(29\) no divisibles por \(2\) ni por \(3.\) Por ejemplo, si \(x = 691\) y \(y = 903\) obtenemos en \(A\) y \(B\) respectivamente los números \(4147\) y \(5423\) ambos divisibles por \(29\).

Esquivando múltiplos de primos

Sean \(\alpha\) y \(\beta\) dos números múltiplos de un primo \(p\), pertenecientes a cualquiera o ambos conjuntos \(A\) y \(B.\) Es claro que \(\alpha + \beta = 2N\) es un número par.

Nuestro propósito ahora es encontrar una forma de reescribir la suma \(\alpha + \beta\) por otra \(\alpha' + \beta'\) en donde \(\alpha'\) y \(\beta'\) sean elementos de \(A\) y \(B,\) no múltiplos de \(p\) y cuya suma sea igualmente \(2N.\)

• C1 Sean \(\alpha\) y \(\beta\) elementos del conjunto \(A,\) véase ecuación 1, ambos múltiplos de un primo \(p\) siendo \(p-1\) un múltiplo de \(6.\) Es claro que \[ \begin{align*} 2N & = \alpha + \beta \\ & = 6(x_1 + x_2) + 2 \end{align*} \] en donde \(x_1 , x_2 \equiv a \mod{p},\) con \(a\) como en 2. Ahora bien, una de las tantas formas de escribir \(a\) como un elemento de \(\mathbb{Z}_p\) es por ejemplo \[ a = 6a + (a + 1) \text{ con } 6a, a, 1 \in \mathbb{Z}_p. \] y en este caso \[ 2a = p - 2 + (2a + 2). \] Si tomamos \[ \begin{align*} & x_1' = (p-2) \mod p \\ & x_2' = (2a + 2) \mod p \end{align*} \tag{6}\] entonces nuestros nuevos candidatos para \(\alpha'\) y \(\beta'\) serían \[ \alpha' = 6x_1' + 1 \quad \text{ y } \quad \beta' = 6x_2' + 1 \]

Ejemplo 3 Considere los números \(\alpha = 247\) y \(\beta = 589\) ambos son elementos del conjunto \(A\) y múltiplos de \(p = 19\). En este caso \(a = 3\) y de acuerdo con 6 obtenemos \[ x_1' \equiv 17 \mod{19} \quad \text{ y } \quad x_2' \equiv 8 \mod{19} \] De acuerdo con esto, si

\[ 247 + 589 = 836 = (6x_1' + 1) + (6x_2' + 1). \]

Entonces la expresión

\[ 836 = (6(19s + 17) + 1) + (6(19t + 8) + 1) \tag{7}\]

siendo \(s\) y \(t\) números enteros no negativos, nos permite escribir \(836\) como la suma de dos números no divibles por \(2\), \(3\) y \(19\). En efecto, al reducir 7 obtenemos \[ s + t = 6 \] y las combinaciones \((0,6),\) \((1,5),\) \((2,4),\) \((3,3),\) \((4,2),\) \((5,1)\) y \((6,0)\) de la pareja \((s, t)\) al reemplazarse en 7 permiten escribir el número \(836\) en las formas \[ \begin{align*} & 836 = 103 + 733 = 217 + 619 = 331 + 505 \\ & 836 = 445 + 391 = 559 + 277 = 673 + 163 = 787 + 49, \end{align*} \] aquí todos estos sumandos no son divisibles por \(2\), \(3\) y \(19\).

• C2 Sean \(\alpha\) y \(\beta\) elementos del conjunto \(B\) ambos múltiplos de un primo \(p\) siendo \(p-5\) múltiplo de \(6.\) Es claro que \[ \begin{align*} 2N & = \alpha + \beta \\ & = 6(y_1 + y_2) + 2 \end{align*} \] en donde \(y_1 , y_2 \equiv b \mod{p},\) con \(b\) como 4. Una de las tantas formas de escribir \(b\) como un elemento de \(\mathbb{Z}_p\) es por ejemplo \[ b = 2b + (p-b) \text{ para } 2b, p-b \in \mathbb{Z}_p. \] y en este caso \[ 2b = 4b + (p - 2b) \] Si tomamos \[ \begin{align*} & y_1' = 4b \mod p \\ & y_2' = (p - 2b) \mod p \end{align*} \tag{8}\] entonces nuestros candidatos para \(\alpha'\) y \(\beta'\) serían \[ \alpha' = 6y_1' + 5 \quad \text{ y } \quad \beta' = 6y_2' + 5 \]

Ejemplo 4 Considere los números \(\alpha = 893\) y \(\beta = 2021\) ambos elementos del conjunto \(B\) múltiplos de \(p = 47\). En este caso \(b = 7\) de acuerdo con 8 obtenemos

\[ y_1' \equiv 28 \mod{47} \quad \text{ y } \quad y_2' \equiv 33 \mod{47} \]

De acuerdo con esto, si

\[ 893 + 2021 = 2914 = (6y_1' + 5) + (6y_2' + 5). \]

Entonces la expresión

\[ 2914 = (6(47s + 28) + 5) + (6(47t + 33) + 5) \tag{9}\]

siendo \(s\) y \(t\) números enteros no negativos, nos permite escribir \(2914\) como la suma de dos números no divibles por \(2\), \(3\) y \(47\). En efecto, al reducir 9 obtenemos \[ s + t = 9 \] y las combinaciones \((0,9),\) \((1,8),\) \((2,7),\) \((3,6),\) \((4,5),\) \((5,4)\), \((6,3)\), \((7, 2)\), \((8, 1)\) y \((9,0)\) de la pareja \((s, t)\) al reemplazarse en 9 permiten escribir el número \(2914\) en las formas

\[ \begin{align*} & 2914 = 173 + 2741 = 455 + 2459 = 737 + 2177 \\ & 2914 = 1019 + 1895 + 1301 + 1613 = 1583 + 1331 \\ & 2914 = 1865 + 1049 = 2147 + 767 = 1429 + 485 = 2711 + 203 \end{align*} \] aquí todos estos sumandos no son divisibles por \(2\), \(3\) y \(47\).

Elimando múltiplos de 5

Empleando las técnicas vistas en la sección anterior podemos determinar de cuántas formas es posible escribir un número par sin emplear múltiplos de \(2\), \(3\) y \(5\).

Par \(2N\) con \(N \equiv 1 \mod 3\)

Si \(2N\) es un número par tal que \(N \equiv 1 \mod 3\) entonces es claro que \(2N\) se puede escribir como la suma de dos enteros \(\alpha_1\) y \(\alpha_2\) ambos pertenecientes al conjunto \(A\). Si \(\alpha_1\) fuese un múltiplo de \(5\) entonces \(\alpha_1 = 6 x_1 + 1\) con \(x_1 \equiv 4 \mod 5\) y \(\alpha_2 = 6x_2 + 1\) con \(x_2 \equiv r \mod 5\) con \(r\) no necesariamente distinto de \(4\).

Entonces buscaremos encontrar soluciones de la ecuación

\[ u + v = 4 + r \text{ en } \mathbb{Z}_5. \tag{10}\]

Cada pareja \((u, v)\) solución de 10 son de la forma \((n , r - n )\) con \(n = 0, \ldots , r\) y \(( r + n, 5 - n )\) con \(n = 1, \ldots , 4 - r\). Como debemos descartar el valor de \(4\) de las soluciones y una de las repetidas entonces obtenemos dos soluciones de 10. De acuerdo con esto si

\[ u_1 + v_1 = 4 + r \quad \text{ y } \quad u_2 + v_2 = 4 + r \]

son soluciones de 10 entonces para \(x'_1 \equiv u_1 \mod 5\), \(x'_2 \equiv v_1 \mod 5\), \(x''_1 \equiv u_2 \mod 5\) y \(x''_2 \equiv v_2 \mod 5\) podemos encontrar números \(\alpha'_1\), \(\alpha'_2\), \(\alpha''_1\) y \(\alpha''_2\) en \(A\) cuya suma es \(2N.\)

De acuerdo con esto, para \(\alpha'_1\) y \(\alpha'_2\) obtenemos

\[ \begin{align*} 2N & = \alpha'_1 + \alpha'_2 \\ & = 6 x'_1 + 1 + 6x'_2 + 1 \\ & = 6(u_1 + 5 s) + 6(u_1 + 5 t) + 2 \end{align*} \] con \(s\) y \(t\) números enteros. Despues de reducir esta expresión obtenemos \[ s + t = \frac{2N - 6(u_1 + v_1) - 2}{30} \tag{11}\]

Como \(\alpha'_1\) y \(\alpha'_2\) son elementos del mismo conjunto, entonces no nos interesan las parejas repetidas. De acuerdo con esto para 11 tenemos

\[ \Big\lfloor \frac{2N - 6(u_1 + v_1) - 2}{60} \Big\rfloor + 1 \]

soluciones. Este es el número de soluciones para la pareja \(u_2\) y \(v_2\) con lo que el número de parejas cuya suma es \(2N\) y que no son múltiplos de \(2\), \(3\) ni \(5\) son

\[ 2 \Big\lfloor \frac{2N - 6(u_1 + v_1) - 2}{60} \Big\rfloor + 2 \tag{12}\]

Podemos ir un poco más lejos en la posibilidad de escribir un número par \(2N\) con \(N \equiv 1 \mod 3\) como la suma de dos números no divisibles por múltiplos de \(2\), \(3\) y \(5\). Si partimos del hecho de que

\[ 2N = ( 6(r_1 + 5s) + 1 ) + ( 6(r_2 + 5t) + 1 ), \tag{13}\]

entonces es claro que si

\[ r_1 + 5s \equiv 1 \mod 7 \quad \text{ o } \quad r_2 + 5t \equiv 1 \mod 7 \]

entonces las cantidades

\[ 6(r_1 + 5s) + 1 \quad \text{ o } \quad 6(r_2 + 5t) + 1 \]

son múltiplos de \(7\).

Después de una cálculo directo 13 puede escribirse como

\[ s + t = \frac{m - (r_1 + r_2)}{5} \quad \text{ con } r_1, r_2 = 0, 1, 2 \text{ o } 3. \tag{14}\]

Vamos a probar que existen cantidades \(\sigma, \tau \not\equiv 0 \mod 7\) tales que

\[ \begin{align} & r_1 + 5s \equiv (1 + \sigma) \mod 7 \\ & r_2 + 5t \equiv (1 + \tau) \mod 7 \end{align} \tag{15}\]

Tomando \(q = r_2 + 5t\) en la última ecuación, y empleando 14 podemos escribir 15 como

\[ \begin{align} & m - q \equiv (1 + \sigma) \mod 7 \\ & q \equiv (1 + \tau) \mod 7 \end{align} \tag{16}\]

Siendo \(m\) un entero fijo tal que \(m \geq 6\) y \(0 \leq q \leq m\). Note que siempre es posible encontrar \(r_1\) y \(t\) tales que \(q \equiv (1 + \tau) \mod 7\) con \(\tau \not \equiv 0 \mod 7.\) Ahora bien si

\[ m - q \equiv 1 \mod 7 \]

entonces

\[ r - 1 - q \equiv 0 \mod 7 \]

en donde \(r\) es tal que \(m \equiv r \mod 7.\) Los anterior sugiere que si \(q_1\) y \(q_2\) pertenecen al conjunto de los \(q\) tales que \(q \equiv (1 + \tau) \mod 7\) con \(\tau\) distintos para cada \(q,\) digamos \(\tau_1\) para \(q_1\) y \(\tau_2\) para \(q_2\) entonces \(\tau_2 - \tau_1 \equiv 0 \mod 7\) lo cual no es posible pues simplemente basta dejar un \(t\) fijo y cambiar \(r_1\) y \(r_2\) en cada caso.