Manchas y patrones de color

Experimento de reacción–difusión basado en el modelo de Gray–Scott. La simulación adapta el código original guepardo.pde: sobre un fondo inspirado en el pelaje, emergen patrones de pigmentación a partir de interacciones locales entre dos campos químicos idealizados.

Evolución del patrón

Preparando la simulación…

Haz clic o arrastra sobre el lienzo para introducir nuevas perturbaciones en el sistema.

Iteraciones: 0 Malla: 320 × 200 Condición inicial: aleatoria

Parámetros del modelo

Puedes modificar las tasas durante la evolución. Para comparar resultados desde el inicio, ajusta los parámetros y pulsa «Nueva simulación».

Alimentación \(F\) 0.0390

Entrada del primer componente al sistema.

Eliminación base \(k_0\) 0.0650

Pérdida del segundo componente; incluye variaciones espaciales.

Difusión \(D_u\) 1.00

Difusión \(D_v\) 0.50

Pasos por cuadro 5

Número máximo de pasos por ciclo; el modo automático puede reducirlos para ahorrar recursos.

Rendimiento del dispositivo

Ajusta el ritmo de cálculo sin modificar la malla ni las ecuaciones.

Representación

Importante: los campos \(u\) y \(v\) son variables químicas abstractas. El modelo ilustra un mecanismo posible de generación de patrones, pero no reproduce explícitamente genes ni la fisiología de la pigmentación.

Fundamento matemático

Modelo de reacción–difusión de Gray–Scott

Dos campos adimensionales, \(u(x,y,t)\) y \(v(x,y,t)\), evolucionan por difusión e interacciones locales. La formulación continua correspondiente al algoritmo utilizado es:

\[ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} &= s(x,y)D_u\nabla^2 u - uv^2 + F(1-u),\\[4pt] \frac{\partial v}{\partial t} &= s(x,y)D_v\nabla^2 v + uv^2 - (F+k(x,y))v. \end{aligned} \]

En la simulación, \(F\) es la tasa de alimentación, \(k(x,y)\) la tasa de eliminación local y \(s(x,y)\) un factor espacial de difusión. Los términos \(uv^2\) describen la interacción no lineal que puede originar estructuras espaciales.

Cómo se calcula

Se utiliza una malla de \(320\times200\) celdas y actualización explícita con paso temporal \(\Delta t=1\). El laplaciano discreto pondera vecinos ortogonales y diagonales:

\[ \mathcal L[w]_{i,j}= -w_{i,j} +0.2\!\sum_{q\in\mathrm{ort}(i,j)} w_q +0.05\!\sum_{q\in\mathrm{diag}(i,j)} w_q. \]

Se aplican condiciones periódicas horizontalmente y de reflexión en los bordes superior e inferior. La función \(k(x,y)\) aumenta gradualmente hacia el borde inferior; tanto \(k\) como \(s\) contienen heterogeneidades espaciales suaves generadas mediante ruido coherente periódico en horizontal.

Condiciones de borde mixtas Ruido coherente espacial Euler explícito Umbral de pigmentación

Interpretación: la representación «Pigmentación» transforma el campo \(v\) en regiones oscuras mediante un umbral espacialmente irregular; este paso es una regla de visualización, no una ecuación adicional de biología celular. La opción «Campo de concentración v» permite separar la dinámica matemática del acabado gráfico.